F = -kx ω = √(k/m) x = A cos(ωt + φ) T = 2π√(m/k) E = ½kA² v = -Aω sin(ωt) a = -ω²x T = 2π√(L/g)

Universidad Tecnológica de Pereira

Cuaderno Interactivo · 2026

Física IIIMecánica Oscilatoria

Movimiento Oscilatorio y Armónico Simple

MAS · Péndulo · Energía · Ondas

V. M. González V.

S. Carmona G.

A. Jaramillo R.

A. Zapata B.

Asistido por Gemini

1. Concepto de Movimiento Oscilatorio

Un movimiento es oscilatorio cuando el cuerpo se desplaza sucesivamente a un lado y a otro de su posición de equilibrio, repitiendo su trayectoria.

Ejemplos Clásicos

El péndulo de un reloj de pared.
Una cuerda de guitarra al ser pulsada.
Un bloque sujeto a un resorte sobre una superficie sin fricción.

Diferencia con otros movimientos

A diferencia del movimiento rectilíneo uniforme, el oscilatorio es acotado. El objeto no se aleja infinitamente, sino que está confinado a una región del espacio por una fuerza restauradora.

Propiedad Fundamental

Todo movimiento oscilatorio requiere una fuerza que siempre apunte hacia la posición de equilibrio. Dicha fuerza se denomina fuerza restauradora.

2. Oscilación Sencilla y Doble

Para analizar el recorrido de una partícula, debemos distinguir entre dos conceptos clave:

Oscilación Sencilla

Movimiento que realiza una partícula desde una posición extrema hasta la otra posición extrema opuesta (medio ciclo).

Oscilación Doble (Ciclo Completo)

Movimiento completo de ida y vuelta. La partícula sale de un punto, va al otro extremo y regresa exactamente al punto de partida con las mismas condiciones iniciales.

Oscilación sencilla vs. doble (ciclo completo)

3. Posición de Equilibrio y Amplitud

Posición de Equilibrio

Punto central donde no actúa fuerza neta sobre la partícula.
Marca el centro de la oscilación.
Representa $x = 0$ en el eje de movimiento.

Amplitud ($A$)

Desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio.
Siempre es un valor positivo ($A > 0$).
Indica qué tan lejos se mueve la partícula en sus extremos.

Fórmula general del MAS: $$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$ $x(t)$: Desplazamiento en el tiempo $t$ $A$: Amplitud $\omega$: Frecuencia angular $\phi$: Fase inicial

4. Movimiento Periódico

El Movimiento Periódico se define como aquel en que el estado físico de un sistema se repite exactamente a intervalos de tiempo iguales. A este intervalo se le denomina Período ($T$).

Condición Matemática de Periodicidad: $$x(t) = x(t + T) = x(t + 2T) = \dots = x(t + nT)$$ $T$: Periodo (tiempo en que se repite el ciclo completo) $n$: Número entero de ciclos ($1, 2, 3, \dots$)

Nota

Todo movimiento oscilatorio ideal sin fricción es periódico, pero no todo movimiento periódico es oscilatorio (e.g., las manecillas de un reloj son periódicas pero no oscilatorias).

El periodo T separa estados idénticos del sistema

5. Elongación

La elongación ($x$) es la distancia dirigida desde la posición de equilibrio hasta la posición de la partícula en un instante $t$ cualquiera.

Características de la Elongación: Rango: $-A \le x(t) \le A$ Unidades SI: metros (m) Vectorial: El signo indica a qué lado del equilibrio se encuentra la partícula.

Observación

La elongación es positiva a la derecha (o arriba) del equilibrio y negativa a la izquierda (o abajo). En los extremos de la oscilación, $|x| = A$.

6. Periodo en Mov. Oscilatorios

El Periodo ($T$) es el tiempo mínimo necesario para que la partícula complete un ciclo entero o una oscilación doble.

Fórmula del Periodo: $$T = \frac{t}{n}$$ $T$: Periodo (en segundos) $t$: Tiempo total empleado $n$: Número de ciclos completos

Unidades

En el Sistema Internacional (SI), el periodo se mide en segundos (s).

7. Frecuencia y Unidades

La Frecuencia ($f$) es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo.

Relación Frecuencia-Periodo: $$f = \frac{1}{T} \quad \text{y} \quad T = \frac{1}{f}$$ Alternativamente: $$f = \frac{n}{t}$$

Análisis Dimensional

[f] = \frac{1}{\text{segundo}} = s^{-1} = \text{Hz}

Hertz (Hz)

La unidad se nombró en honor a Heinrich Hertz. Un Hertz equivale a una oscilación por segundo: $1\text{ Hz} = 1\text{ osc/s}$.

8. Concepto de M.A.S.

El Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) es el movimiento oscilatorio, periódico y rectilíneo más fundamental de la física.

Ecuación Diferencial del MAS: $$\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$ Solución general: $$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

Requisitos Clave

Ausencia de fricción (conservación de energía mecánica) y fuerza restauradora perfectamente lineal ($F = -kx$, Ley de Hooke).

Todo sistema que experimenta una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento se comporta cinemáticamente como un MAS.

9. MAS como Proyección del MCU

Si una partícula se mueve en una circunferencia de radio $A$ con velocidad angular $\omega$, su proyección sobre un diámetro describe un MAS.

Relaciones Matemáticas: Radio del MCU = Amplitud ($A$) del MAS Velocidad angular del MCU = Frecuencia angular ($\omega$) del MAS Ángulo $\theta = \omega t + \phi$ = Fase del MAS Proyección X: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ Proyección Y: $y(t) = A\sin(\omega t + \phi)$

La proyección del MCU sobre el eje X genera un MAS

10. Ecuación del MAS

La posición de una partícula en MAS como función del tiempo:

x(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \alpha)

Parámetros

$A$: Amplitud — desplazamiento máximo desde el equilibrio.
$\omega$: Frecuencia angular — $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ (rad/s).
$t$: Tiempo en segundos.
$\alpha$ (o $\phi$): Fase inicial — posición en $t=0$ (rad).

Relaciones Fundamentales

T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

11. Gráfica Interactiva del MAS

Experimenta cambiando los valores de amplitud y frecuencia angular para ver cómo se deforma la función en tiempo real.

Amplitud (A): 1

Frecuencia Angular (ω): 2

12. Cinemática del MAS

Derivando la posición $x(t)$:

Elongación: $$x(t) = A \sin(\omega t + \alpha)$$ Velocidad: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \alpha)$$ Aceleración: $$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \alpha) = -\omega^2 x(t)$$

Desfases

La velocidad está desfasada $\frac{\pi}{2}$ respecto a la posición. La aceleración está desfasada $\pi$ (siempre opuesta y proporcional al desplazamiento).

13. Máximos y Mínimos en MAS

Velocidad Máxima: en el equilibrio ($x=0$) $$|v_{\max}| = A\omega$$ Velocidad Mínima: cero en los extremos ($x=\pm A$). Aceleración Máxima: en los extremos $$|a_{\max}| = A\omega^2$$ Aceleración Mínima: cero en el equilibrio ($x=0$).

Resumen Visual

En el equilibrio: máxima velocidad, aceleración nula. En los extremos: velocidad nula, máxima aceleración. La partícula se "frena" en los extremos y "acelera" hacia el centro.

14. Dinámica del MAS y Ley de Hooke

La dinámica del MAS se fundamenta en una fuerza restauradora lineal.

Ley de Hooke: $$F = -k \cdot x$$ $F$: Fuerza restauradora (N) $k$: Constante elástica de restitución (N/m) $x$: Elongación (m) El signo negativo indica que $F$ siempre apunta hacia el equilibrio.

Combinando con la segunda ley de Newton $F = ma$:

ma = -kx \implies m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

15. Energía Cinética en el MAS

La energía asociada a la rapidez instantánea de la partícula:

E_k = \frac{1}{2}mv^2

Expandiendo con $v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$:

Fórmula simplificada: $$E_k = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$$

Comportamiento

Es máxima en el equilibrio ($x=0$): $E_k = \frac{1}{2}kA^2$.

Es cero en los extremos ($x = \pm A$).

16. Energía Potencial Elástica

La energía acumulada por haber desplazado la masa desde el equilibrio:

E_p = \frac{1}{2}kx^2

Comportamiento Inverso

Es cero en el equilibrio ($x=0$).

Es máxima en los extremos ($x = \pm A$): $E_p = \frac{1}{2}kA^2$.

Es exactamente el complemento de la energía cinética en cada instante.

17. Conservación de la Energía

En ausencia de fricción, la energía mecánica total es constante.

E = E_k + E_p$$ $$E = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2) + \frac{1}{2}kx^2$$ $$\boxed{E = \frac{1}{2}kA^2 = \text{constante}}

Resultado Fundamental

La energía total depende solo de la constante $k$ y la amplitud $A$. En todo instante ocurre un intercambio continuo entre $E_k$ y $E_p$, pero su suma permanece inmutable.

Ejemplo

Un resorte ($k=200$ N/m) con $A=0{,}04$ m:

E = \frac{1}{2}(200)(0{,}04)^2 = 0{,}16 \text{ J}

En $x=0{,}02$ m: $E_p = \frac{1}{2}(200)(0{,}02)^2 = 0{,}04$ J, $E_k = 0{,}12$ J.